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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%
%{\bf 
%\noindent
%Universit\'e de Lorraine -- Metz, UFR MIM}\\
%%Ann\'ee 2012/2013}\\
%{\bf Licence de Math\'ematiques, 2013-2014} \\
%{\bf Analyse num\'erique non lin\'eaire}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\title{Analyse num\'erique non lin\'eaire}
\author{Jean-Pierre Croisille}
\date{ 1er mars 2014}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\small
%
% EN-TETE FEUILLE D'EXERCICES DE LA MAITRISE MIM
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\maketitle
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\bf 
%\noindent
%Universit\'e de Lorraine -- Metz, UFR MIM}\\
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%{\bf Licence de Math\'ematiques, 2013-2014} \\
%{\bf Analyse num\'erique non lin\'eaire}
%
\chapter{Calcul d'erreur pour le $\theta$-sch\'ema}
\section{Introduction}
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle pour $x(t) \in \Bbb R$:
\beq
\label{eq:1}
   x^\prime(t) \,=\, f(x(t),t)~, \quad t \in [0,T]~, \quad x(0) =x_0,\; x(t) \in \Bbb R,
\eeq
o\`u $x^0 \in \Bbb R$ est donn\'e. On suppose que $f \in
C^2([0,T]
\times \Bbb R, \Bbb R)$ et qu'elle v\'erifie la condition suivante:
\beq
   (L)\;\;\;\;\hbox{Il existe }L > 0\hbox{ tel que } \left|{\partial f \over
   \partial z}(z,t)\right| \,\le\, L~, \quad \forall \,z \in \Bbb R,
   \quad \forall\,t \in [0,T]~. 
\eeq
On consid\`ere une subdivision uniforme \`a $N+1$ points (donc de pas
$h=T/N$) de l'intervalle $[0,T]$.\par
Pour $\theta\in [0,1]$ on consid\`ere le $\theta$-sch\'ema:
\beq
\label{eq:2}
(M_\theta)
\left\{
\begin{array}{l}
x_0 \,\in\, \Bbb R \hbox{ donn\'e}~, \quad t_n = nh~, \quad 0 \le n
\le N~, \\
x_{n+1} \,=\, x_n + h \theta f(x_{n+1},t_{n+1}) + h(1-\theta) f(x_n,t_{n}), \quad 0 \le n \le N-1~.
%   \leqno(M_{\theta})
\end{array}
\right.
\eeq
o\`u $t_n=nh$, $ n \geq 0$. \\


On consid\`ere la fonction 
\beq
\label{eq:3}
f(x,t)=\frac{x t}{1+t^2}.
\eeq
Cette fonction v\'erifie-t-elle l'hypoth\`ese {\it (L)} ? \\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Questions }
Dans le cas o\`u la fonction $f(x,t)$ est donn\'ee par (\ref{eq:3}), exprimer $x_{n+1}$ 
en fonction de $x_n$. (On supposera $h$ suffisamment petit).\\
%donner la relation de r\'ecurrence satisfaite 
%par la suite $(x_n)_{0 \leq n \leq N-1}$ d\'efinie par (\ref{eq:2}).\\

On consid\`ere le cas g\'en\'eral. Montrer qu'il existe $h_0 > 0$ tel que, pour tout $0 < h <h_0$
et tout $x_0 \in \Bbb R$, il existe une unique suite $(x_n)_{0 \le n
\le N}$ v\'erifiant $(M_{\theta})$. Indiquer une 
fa\c con d\'evaluer num\'eriquement $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$.\\
Soit $x(t)$ la solution du probl\`eme (\ref{eq:1}). Pour tout $t \in [0,T-h]$,
$0 < h < h_0$, on introduit l'erreur locale de troncature associ\'ee au
sch\'ema $(M_{\theta})$
\beq
   e(h,t) \,=\, \frac{x(t+h) - x(t)}{h} - \theta f(x(t+h),t+h) -
 (1-\theta) f(x(t),t).
\eeq
D\'eterminer selon les valeurs de $\theta $ l'ordre du sch\'ema implicite $ (M_{\theta}).$\\ 

Soit $(z_n)_{0 \leq n\leq N-1}$ une suite fix\'ee. On consid\`ere la suite $(y_n)_{0 \le n \le N-1}$ donn\'ee, pour
tout $0 < h < h_0$, par
\beq
\left\{
\begin{array}{l}
y_0 \,\in\, \Bbb R \hbox{ donn\'e}~, \quad 0 \le n
\le N~,\\
y_{n+1} \,=\, y_n + h \theta f(y_{n+1},t_{n+1}) + h(1-\theta) f(y_n,t_{n}) + z_n, \qquad \qquad\\
\qquad\qquad 0 \le n \le N-1~,
\end{array}
\right. 
\eeq
V\'erifier que $(y_n)_{0 \leq n\leq N-1}$ est bien d\'efinie.\\

Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite positive v\'erifiant 
\beq
u_{n+1} \leq \alpha u_n + \beta, \;\;\; \alpha, \beta \geq 0, \alpha \neq 1.
\eeq
Montrer que
\beq
0 \leq u_n \leq u_0 \alpha^n +\beta \frac{\alpha^n-1}{\alpha-1}.
\eeq
Estimer $|y_{n} - x_{n}|$ en fonction de $|y_0 - x_0|$ et de $(|z_n|)_{0 \le n \le N-1}$.\\ 

Donner un majorant de l'erreur 
\beq
\max_{0 \leq n \leq N-1} \vert x_n-x(t_n) \vert
\eeq
en fonction de $h$ et $|x_0-x^0|$.\\

On suppose que $x_0=x^0$, Quel est l'ordre de l'erreur 
\beq
\max_{0 \leq n \leq N-1} \vert x_n-x(t_n) \vert ?
\eeq
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Equation de Stuart-Landau} 
\section{Introduction}
On consid\`ere le syst\`eme diff\'erential complexe (\'equation de Stuart-Laundau)
dont l'inconnue est $W(t)=X_1(t)+iX_2(t)$ avec $c_0, c_1 \in \Bbb R$,
\begin{equation}
\label{eq:3.1}
\left\{
\begin{array}{l}
W^\prime(t)=(1+i c_0) W(t)-(1+i c_2) \vert W(t) \vert^2 W(t)\\
W(0)=a+ib
\end{array}
\right.
\end{equation}
\section{Questions}
\begin{enumerate}
\item
Exprimer (\ref{eq:3.1}) sous la forme
d'un syst\`eme diff\'erentiel en $X(t)=(X_1(t), X_2(t)) \in \Bbb R^2$.\\
\item
R\'esoudre (\ref{eq:3.1}) de fa\c con approch\'ee \`a l'aide du sch\'ema RK4. On utilisera
les successivement les 3 conditions initiales $W_0=1, W_0=i, W_0=1+i$.
On repr\'esentera les portraits de phase dans l'espace $(X_1,X_2)$.\\
\item
Soit $\omega_0 \in \Bbb R$. V\'erifier que $W_0(t)=\exp(i\omega_0 t)$ est une solution p\'eriodique
de (\ref{eq:3.1}) lorsque l'on a $\omega_0=c_0-c_2$.\\
\item
On \'etudie les solutions de la forme $W(t)=W_0(t)(1+w(t))$,
o\`u $w(t)$ repr\'esente une ``petite perturbation''
autour de la solution pe\'eriodique $W_0(t)$.
Montrer que la fonction $t \mapsto w(t)$ satisfait 
une \'equation diff\'erentielle de la forme
\beq
w^\prime(t)=-(1 + i c_2) (w(t)+\bar w(t)) +O(\vert w(t) \vert^2)
\label{eq:81}
\eeq
\o\`u $O(\vert w \vert ^2)$ d\'esigne des termes
de l'ordre de $\vert w \vert ^2$ (ou plus petits).\\
\item
Exprimer l'e.d.o.(\ref{eq:81}) (sans les termes en $O(\vert w\vert ^2)$
sous la forme d'un syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire en $t \mapsto (\alpha(t), \beta(t)$
avec $w(t)=\alpha(t)+i \beta(t)$ de la forme
\begin{equation}
\label{eq:3.4}
{ d \over dt}\left[
\begin{array}{l}
\alpha(t)\\
\beta(t)
\end{array}
\right]
=\Lambda
\left[
\begin{array}{l}
\alpha(t)\\
\beta(t)
\end{array}
\right]
\end{equation}
o\`u $\Lambda \in \Bbb M(\Bbb R^2)$ est une matrice que l'on pr\'ecisera.\\
\item
Donner la solution analytique $w(t)$ de (\ref{eq:3.4}) en fonction de la condition initiale $w_0(t)$.\\
\item
Tracer sur une m\^eme figure la solution calcul\'ee par RK4 
de (\ref{eq:3.1}) et la fonction $W_0(t)+w(t)$ .
On pr\'esentera les r\'esultats pour les 3 conditions initiales pr\'ec\'edentes.\\
\item
Commenter les r\'esultats obtenus.
\end{enumerate}
\end{document}